已知函数f，当x，y∈R时，恒有f=f+f．求证：f+f=0；若f=a，试用a表示f；（3

题文

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证：f（x）+f（-x）=0；（2）若f（-3）=a，试用a表示f（24）；（3）如果x∈R时，f（x）＜0，且f(1)=-12，试求f（x）在区间[-2，6]上的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0得f（0）=0，再令y=-x得f（-x）=-f（x），∴f（-x）+f（x）=0．（2）由f（-3）=af（3）=-a，∴f（24）=f（3+3++3）=8f（3）=-8a．（3）设x1＜x2，则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1）又∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＜0，∴f（x1）+f（x2-x1）＜f（x1），∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在R上是减函数，∴f（x）max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-12)=-3．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。