求证：函数f(x)=x+3x+1在区间上是单调减函数；写出函数f(x)=x+1x+3的单调区间；讨论函数f(x)=x+ax+2在

题文

（1）求证：函数f(x)=x+3x+1在区间（-1，+∞）上是单调减函数；（2）写出函数f(x)=x+1x+3的单调区间；（3）讨论函数f(x)=x+ax+2在区间（-2，+∞）上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：任取x1＞x2＞-1，则f（x1）-f（x2）=x1+3x1+1-x2+3x2+1=(x1+3)(x2+1)-(x2+3)(x1+1)   (x1+1)(x2+1) =2(x2-x1) (x1+1)(x2+1) ∵x1＞x2＞-1，∴x1+1＞0，x2+1＞0；x2-x1＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f(x)=x+3x+1在区间（-1，+∞）上是单调减函数．（2）f(x)=x+1x+3=1-2x+3，∴函数的定义域是（-∞，-3）∪（-3，+∞），则函数的单调增区间（-∞，-3），（-3，+∞）．（3）f(x)=x+ax+2=1+a-2x+2，当a＞2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递减，当a=2时，无单调性；当a＜2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递增．

解析

x1+3x1+1

考点

据考高分专家说，试题“（1）求证：函数f(x)=x+3x+1在.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。