若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求11

题文

若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵0＜a，b，c＜1∴1-a，1-b，1-c∈（0，1）∵11-a+11-b+11-c[（1-a）+（1-b）+（1-c）]=1+1-b1-a+1-c1-a+1+1-a1-b+1-c1-b+1+1-a1-c+1-b1-c=3+(1-b1-a+1-a1-b)+(1-c1-a+1-a1-c)+(1-c1-b+1-b1-c)≥3+2(1-b)(1-a)(1-a)(1-b)+2(1-c)(1-a)(1-a)(1-c)+2(1-c)(1-b)(1-b)(1-c)=9当且仅当a=b=c=33取等号∴11-a+11-b+11-c≥93-(a+b+c)又∵2（a+b+c）2=（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）+4ab+4ac+4bc≥2ab+2ac+2bc+4ab+4ac+4bc=6（ab+ac+bc）=6∴a+b+c≥3∴3-(a+b+c)≤3-3∴93-(a+b+c)≥93-3=9-33311-a+11-b+11-c≥93-(a+b+c)≥9-332（当且仅当a=b=c=33）时取等号故11-a+11-b+11-c的最小值9-332

解析

11-a

考点

据考高分专家说，试题“若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。