已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f≥0；②f=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1

题文

已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．（1）求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0；∴f（0）=0（2 ） 证明：由题设知：g（1）=2-1=1；由x∈[0，1]知2x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；设x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则2x1≥1，2x2≥1；∴g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=(2x1+x2-1)-[(2x1-1)+(2x2-1)]=(2x1-1)(2x2-1)≥0即g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2）∴函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）证明：若f（x0）＞x0，则由题设知：f（x0）-x0∈[0，1]，且由①知f[f（x0）-x0]≥0，∴由题设及③知：x0=f（f（x0））=f[（f（x0）-x0）+x0]=f[f（x0）-x0]+f（x0）≥f（x0）矛盾；若f（x0）＜x0，则则由题设知：x0-f（x0）∈[0，1]，且由①知f[x0-f（x0）]≥0，∴同理得：f（x0）=f[（x0-f（x0））+f（x0）]=f[x0-f（x0）]+f（f（x0））≥f（f（x0））=x0，矛盾；故由上述知：f（x0）=x0．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。