设定义在上的函数f满足；对任意a，b∈，都有f=f

题文

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（ab），且当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（1x-8）＞2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）取a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0．（2）函数在（0，+∞）上是单调增函数．任取x1，x2∈（0，+∞），设x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2x1），因为0＜x1＜x2，所以x2x1＞1，又当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（x2）-f（x1）=f（x2x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（3）若f（3）=1，则2=1+1=f（3）+f（3）=f（9），f（x）-f（1x-8）=f（x（x-8）），则不等式f（x）-f（1x-8）＞2可以化为f（x（x-8））＞f（9），即x＞0x-8＞0x(x-8)＞0，解得x＞9．即不等式的解集为（9，+∞）．

解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。