设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.求函数的解析式和值域；试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；已知，是否

题文

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.（1）求函数的解析式和值域；（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由恒成立等价于恒成立，…1分从而得：，化简得，从而得，所以，………3分其值域为.…………………4分（2）解：当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：设，则，所以对一切，均有；………………7分从而得，即，所以数列在区间上是递增数列…10分注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.另解：若数列在某个区间上是递增数列，则即…7分又当时，，∴对一切，均有且，∴数列在区间上是递增数列.…………………………10分（3）（文科）由（2）知，从而；，即； ………12分令，则有且；从而有，可得，∴数列是以为首项，公比为的等比数列，………14分从而得，即，∴ ，∴，∴， …16分∴，.   ………………………18分（3）（理科）由（2）知，从而；，即；………12分令，则有且；从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，…………………14分从而得，即，所以 ，所以，所以，所以，.………………………16分即，所以，恒成立（1）当n为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。（2）当n为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。所以，对任意，有。又非零整数，…………18分

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满.....”主要考查你对 [函数图象 ]考点的理解。 函数图象

定义：

点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。

函数图像的画法：

（1）描点法： 一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。 （2）用函数的性质画图 一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。 （3）通过图像变换画图 （一）平移变化： Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到； Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到． （二）对称变换： Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到； Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到； Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到； Ⅳ函数y=f-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．

函数图像的判断：

这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。

常用结论： （1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。