求所有的正整数，使得是一个完全平方数，且除了2或3以外，没有其他的质因数.

题文

求所有的正整数，使得是一个完全平方数，且除了2或3以外，没有其他的质因数. 题型：未知 难度：其他题型

答案

符合条件的值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.

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解析

设，其中，则.依题意，可设其中均为非负整数，于是                  （1）…………………………5分如果，则，这是不可能的.所以中至少有一个大于0，于是和均为偶数，从而均为正整数.若，则，显然只可能（否则左右两边被4除的余数不相同），此时，显然只能是，此时.…………………………10分若，则是4的倍数，从而也是4的倍数，故，此时                                       （2）显然中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）.1）当，即时，                    （3）此时（否则等式左右两边奇偶性不相同），故.若，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能，从而（3）式即，它只有两组解和即和此时，对应的值分别为24和96，相应的值分别为864和10368. …………………15分2）当，即时，                    （4）此时显然（否则等式左右两边奇偶性不相同），故.若，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故.若，则，只可能，此时.若，则（4）式即，它只有两组解和即和此时，对应的值分别为12和36，相应的值分别为288和1728.因此，符合条件的值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.…………………………20分

考点

据考高分专家说，试题“ 求所有的正整数，使得是一个完全平方数，.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点