已知函数f(x)=cx

题文

已知函数f(x)=cx-1x+1（c为常数）．（1）若1为函数f（x）的零点，求c的值；（2）在（1）的条件下且a+b=0，求f（4a）+f（4b）的值；（3）若函数f（x）在[0，2]上的最大值为3，求c的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵1为f（x）的一个零点，∴f（1）=0，解得c=1．（2）由（1）知：f(x)=x-1x+1，所以f(4a)+f(4b)=4a-14a+1+4b-14b+1=2•4a+b-2(4a+1)•(4b+1)=0．（3）先证f（x）的单调性．设0≤x1＜x2≤2，则f(x2)-f(x1)=cx2-1x2+1-cx1-1x1+1=(x2-x1)•(c+1)(x2+1)•(x1+1)．∵0≤x1＜x2≤2，∴当c＞-1时，f（x2）＞f（x1），即函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以f（x）max=f（2）=3，即2c-12+1=3，解得c=5；当c=-1时，f（x1）=f（x2），即f（x）在[0，2]上是常函数，所以f（x）=-1，不合题意；当c＜-1时，f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在[0，2]上单调递减，所以f（x）max=f（0）=3，即-1=3，显然不成立，综上所述，c=5．

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解析

x-1x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=cx-1x+1（c为常.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点