设函数f=alnx，g=12x2．记g′为g的导函数，若不等式f+2g′≤x

题文

设函数f（x）=alnx，g（x）=12x2．（1）记g′（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（2）若a=1，对任意的x1＞x2＞0，不等式m[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即为alnx+2x≤（a+3）x-12x2，化简得：a（x-lnx）≥12x2-x，由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而a≥12x2-xx-lnx，设y=12x2-xx-lnx，由y′=(x-1)(x-lnx)-(1-1x)(12x2-x)(x-lnx)2=(x-1)(12x+1-lnx)(x-lnx)2，∵当x∈（1，e）时，x-1＞0，12x+1-lnx＞0，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立，则y=12x2-xx-lnx递增，ymin=-12．由不等式有解，可得知a≥ymin=-12，即实数a的取值范围是[-12，+∞）．（2）当a=1，f（x）=lnx．由m[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）恒成立，得mg（x1）-x1f（x1）＞mg（x2）-x2f（x2）恒成立，设t（x）=m2x2-xlnx（x＞0）．由题意知x1＞x2＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，∴t′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥lnx+1x恒成立，因此，记y=lnx+1x，得y′=-lnxx2，∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．由此可得h（x）max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．．

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=alnx，g（x）=12.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点