已知函数f=ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．若a=1，求曲线f在点处的切线方程；若a＜0，求f（x

题文

已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若a＜0，求f（x）的单调区间；（3）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）=13x3+12x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）=（ax2+x-1）ex，∴f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x-1）ex=（ax2+2ax+x）ex，（1）当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e，故切线方程为y-e=4e（x-1），化为一般式可得4ex-y-3e=0；（2）当a＜0时，f′（x）=（ax2+2ax+x）ex=[x（ax+2a+1）]ex，若a=-12，f′（x）=-12x2ex＜0，函数f（x）在R上单调递减，若a＜-12，当x∈（-∞，-2-1a）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（-2-1a，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；若-12＜a＜0，当x∈（-∞，0）和（-2-1a，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（0，-2-1a）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；（3）若a=-1，f（x）=（-x2+x-1）ex，可得f（x）-g（x）=（-x2+x-1）ex-13x3-12x2-m，原问题等价于f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，即y=m与y=（-x2+x-1）ex-13x3-12x2的图象有3个不同的交点，构造函数F（x）=（-x2+x-1）ex-13x3-12x2，则F′（x）=（-2x+1）ex+（-x2+x-1）ex-x2-x=（-x2-x）ex-x2-x=-x（x+1）（ex+1），令F′（x）=0，可解得x=0或-1，且当x∈（-∞，-1）和（0，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（-1，0）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，故函数F（x）在x=-1处取极小值F（-1）=-3e-16，在x=0处取极大值F（0）=-1，要满足题意只需∈（-3e-16，-1）即可．故实数m的取值范围为：（-3e-16，-1）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点