设函数f=13x3+a

题文

设函数f（x）=13x3+a-12x2-ax+a，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）=0在（0，2）内恰有两个实数根，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在[t，t+2]（t∈（-3，-2））上的最大值为H（t），最小值为h（t），记g（t）=H（t）-h（t），求函数g（t）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得f′（x）=x2+（a-1）x-a=（x+a）（x-1），（a＞0）令f′（x）＞0可得x＜-a，或x＞1，令f′（x）＜0可得-a＜x＜1，故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）和（1，+∞），单调递减区间为（-a，1）；（2）由（1）知f（x）在（0，1）单调递减，（1，2）单调递增，方程f（x）=0在（0，2）内恰有两个实数根等价于f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，解得0＜a＜13，所以a的取值范围为（0，13）（3）当a=1时，f（x）=13x3-x+1，由（1）知f（x）在（-3，-1）单调递增，在（-1，1）单调递减，所以，当t∈[-3，-2]时，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，所以函数f（x）在[t，-1]上单调递增，[-t，t+3]上单调递减，故函数f（x）在[t，t+3]上的最大值H（t）=f（-1）=53，而最小值h（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[-3，-2]时，f（t）≤f（t+3），故h（t）=f（t）所以g（t）=f（-）-f（t），而f（t）在[-3，-2]上单调递增，因此f（t）≤f（-2）=13，所以g（t）在[-3，-2]上的最小值g（-2）=53-13=43，即函数f（x）在[-3，-2]上的最小值为43

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=13x3+a-12x2-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点