若函数f=log(x+1x)2

题文

若函数f（x）=log (x+1x)2-a在区间[12，2]内有零点，则实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设u（x）=x+1x，x∈[12，2]，则u′(x)=1-1x2=x2-1x2，令u′（x）=0，x∈[12，2]，解得x=1．当12≤x＜1时，u′（x）＜0，u（x）单调递减；当1＜x≤2时，u′（x）＞0，u（x）单调递增．又∵f（u）=log2u在区间[12，2]上单调递增，∴f（x）在区间[12，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增．又f（1）=1，f（2）=log252=f(12)，∴函数f（x）在x=1处取得最小值1，在x=2或12处取得最大值log252，因此函数f（x）的值域为[1，log252]．要使函数f（x）=log (x+1x)2-a在区间[12，2]内有零点，则实数a的取值范围一定是[1，log252]．故答案为[1，log252]．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）=log(x+1x)2-a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点