已知n∈N*，设函数fn(x)=1

题文

已知n∈N*，设函数fn(x)=1-x+x22-x33+…-x2n-12n-1，x∈R．（1）求函数y=f2（x）-kx（k∈R）的单调区间；（2）是否存在整数t，对于任意n∈N*，关于x的方程fn（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解？若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为y=f2（x）-kx=1-x+x22-x33-kx，所以y′=-1+x-x2-k=-（x2-x+k+1），方程x2-x+k+1=0的判别式△=（-1）2-4（k+1）=-3-4k，当k≥-34时，△≤0，y′=-（x2-x+k+1）≤0，故函数y=f2（x）-kx在R上单调递减；当k＜-34时，方程x2-x+k+1=0的两根为x1=1--3-4k2，x2=1+-3-4k2，则x∈（-∞，x1）时，y′＜0，x∈（x1，x2）时，y′＞0，x∈（x2，+∞）时，y′＜0，故函数y=f2（x）-kx（k∈R）的单调递减区间为（-∞，x1）和（x2，+∞），单调递增区间为（x1，x2）；（2）存在t=1，对于任意n∈N*，关于x的方程fn（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解，理由如下：当n=1时，f1（x）=1-x，令f1（x）=1-x=0，解得x=1，所以关于x的方程f1（x）=0有唯一实数解x=1；当n≥2时，由fn（x）=1-x+x22-x33+…-x2n-12n-1，得fn′（x）=-1+x-x2+…+x2n-3-x2n-2，若x=-1，则f′n（x）=f′n（-1）=-（2n-1）＜0，若x=0，则f′n（x）=-1＜0，若x≠-1且x≠0时，则f′n（x）=-x2n-1+1x+1，当x＜-1时，x+1＜0，x2n-1+1＜0，f′n（x）＜0，当x＞-1时，x+1＞0，x2n-1+1＞0，f′n（x）＜0，所以f′n（x）＜0，故fn（x）在（-∞，+∞）上单调递减．因为fn（1）=（1-1）+（12-13）+（14-15）+…+（12n-2-12n-1）＞0，fn（2）=（1-2）+（222-233）+（244-255）+…+（22n-22n-2-22n-12n-1）=-1+（12-23）•22+（14-25）•24+…+(12n-2-22n-1)•22n-2=-1-12•3•22-34•5•24-…-2n-3(2n-2)(2n-1)•22n-2＜0，所以方程fn（x）=0在[1，2]上有唯一实数解，综上所述，对于任意n∈N*，关于x的方程fn（x）=0在区间[1，2]上有唯一实数解，所以t=1．

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解析

x22

考点

据考高分专家说，试题“已知n∈N*，设函数fn(x)=1-x+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点