已知函数f(x)=1x+clnx的图象与x轴相切于点S．求函数f的解析式；若函数f的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，

题文

已知函数f(x)=1x+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST的倾斜角为α，试证明：π4＜α＜5π12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由f(x)=1x+clnx，得f′(x)=-1x2+cx．…（1分）∵函数f(x)=1x+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0），∴f′(s)=-1s2+cs=cs-1s2=0，…①且f（s）=1s+clns=0…．②…（2分）联立①②得c=e，s=1e．…（3分）∴f(x)=1x+elnx．…（4分）（Ⅱ）证明：f′(x)=-1x2+ex．∵函数f(x)=1x+clnx的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，∴直线l的方程为：y=(-1t2+et)x，又∵T在直线l上，∴实数t必为方程2t+elnt-e=0…．③的解．…（5分）令g(t)=2t+elnt-e，则g′(t)=-2t2+et=et-2t2，解g′（t）＞0得t＞2e，g′（t）＜0得0＜t＜2e．∴函数y=g（t）在(0，2e]递减，在(2e，+∞)递增．…（7分）∵g(1e)=0，且函数y=g（t）在(0，2e)递减，∴t=1e是方程2t+elnt-e=0在区间(0，2e]内的唯一一个解，又∵f(1e)=0，∴t=1e不合题意，即t＞2e．…（8分）∵g（1）=2-e＜0，g(e)=2e＞0，函数y=g（t）在(2e，+∞)递增，∴必有1＜t＜e．…（9分）（Ⅲ）证明：∵T（t，f（t）），S(1e，0)∴tanα=kST=f(t)-0t-s=1t+elntt-1e，由③得tanα=1t+elntt-1e=et，…（10分）∵t＞0，且0≤α＜π，∴0＜α＜π2．∵1＜t＜e，∴1＜tanα=et＜e，…（11分）∵tanπ4=1，tan5π12=tan(π6+π4)=tanπ6+tanπ41-tanπ6tanπ4=2+3＞e，…（13分）∴tanπ4＜tanα＜tan5π12，∵y=tanx在(0，π2)单调递增，∴π4＜α＜5π12．…（14分）

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1x+clnx的图象与.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点