设函数f的图象是由函数g(x)=cos2x+3sinxcosx

题文

设函数f（x）的图象是由函数g(x)=cos2x+3sinxcosx-12的图象经下列两个步骤变换得到：（1）将函数g（x）的图象向右平移π12个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数h（x）的图象；（2）将函数h（x）的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0＜m＜12)倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数f（x）的图象．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）判断方程f（x）=x的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列{an}满足a1=0，an+1=f（an），试探究数列{an}的单调性，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）g(x)=cos2x+3sinxcosx-12=1+cos2x2+32sin2x-12…（2分）=12cos2x+32sin2x=sin(2x+π6)…（3分）∴函数g（x）的图象向右平移π12个单位，得g（x+π12）=sin2x，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得h（x）=sinx，…（4分）再将函数h（x）的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0＜m＜12)倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得f（x）=msinx+1．…（5分）（Ⅱ）方程f（x）=x有且只有一个实根．…（6分）理由如下：由（Ⅰ）知f（x）=msinx+1，令F（x）=f（x）-x=msinx-x+1，因为F（0）=1＞0，结合0＜m＜12，得F(π2)=m-π2+1＜32-π2＜0．所以F（x）=0在(0，π2)至少有一个根．…（7分）又因为F′(x)=mcosx-1＜m-1＜-12＜0，所以函数F（x）在R上单调递减，因此函数F（x）在R上有且只有一个零点，即方程f（x）=x有且只有一个实根．…（9分）（Ⅲ）因为a1=0，an+1=f（an）=msinan+1，所以a2=1＞a1，又a3=msin1+1，因为0＜1＜π2，所以0＜sin1＜1，所以a3＞1=a2．由此猜测an＞an-1（n≥2），即数列{an}是单调递增数列．…（11分）以下用数学归纳法证明：n∈N，且n≥2时，an＞an-1≥0成立．（1）当n=2时，a2=1，a1=0，显然有a2＞a1≥0成立．（2）假设n=k（k≥2）时，命题成立，即ak＞ak-1≥0（k≥2）．…（12分）则n=k+1时，ak+1=f（ak）=msinak+1，因为0＜m＜12，所以ak=f(ak-1)=msinak-1+1＜m+1＜12+1＜π2．又sinx在(0，π2)上单调递增，0≤ak-1＜ak＜π2，所以sinak＞sinak-1≥0，所以msinak+1＞msinak-1+1，即sinak+1＞msinak-1+1=f（ak-1）=ak≥0，即n=k+1时，命题成立．…（13分）综合（1），（2），n∈N，且n≥2时，an＞an-1成立．故数列{an}为单调递增数列．…（14分）

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解析

3

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的图象是由函数g(x)=c.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点