已知函数f=2ex,a∈R.求f的单调区间;对任意的x∈≤4e恒成立,求a的取值范围;求证:

更新时间:2023-02-04 21:11:15 阅读: 评论:0

题文

已知函数f(x)=(x-a)2ex,a∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)对任意的x∈(-∞,1],不等式f(x)≤4e恒成立,求a的取值范围;(3)求证:当a=2,2<t<6时,关于x的方程f′(x)ex=12(t-2)2在区间[-2,t]上总有两个不同的解. 题型:未知 难度:其他题型

答案

(1)f′(x)=2(x-a)ex+(x-a)2ex,=(x-a)[x-(a-2)]ex.…2分令f′(x)=0,得x1=a-2,x2=a.当x变化时,f′(x)、f(x)的变化如下:x(-∞,a-2)a-2(a-2,a)a(a,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的单调递增区间是(-∞,a-2),(a,+∞),单调递减区间是(a-2,a).…6分(2)由(Ⅰ)得[f(x)]极大=f(a-2)=4ea-2.①当a≤1时,f(x)在(-∞,1]上的最大值为f(a-2)或f(1),由a≤1f(a-2)=4ea-2≤4e,f(1)=(a-1)•2e≤4e,解得-1≤a≤1;②当a-2≤1<a,即1<a≤3时,f(x)在(-∞,1]上的最大值为f(a-2),此时f(a-2)=4ea-2≤4e3-2=4e;③当a-2>1,即a>3时,f(1)=(a-1)2e>4e,f(x)≤4e不恒成立.综上,a的取值范围是[-1,3].…12分(III)∵f′(x)=x(x-2)ex,f′(x)ex=12(t-2)2,∴x 2-2x=12(t-2)2,令g(x)=x2-2x-12(t-2)2,从而问题转化为证明当2<t<6时,函数g(x)=x2-2x-12(t-2)2在[-2,t]与x轴有两个不同的交点,∵g(-2)>0,g(t)>0,g(0)<0,∴g(x)=0在[-2,t]上有解,且有两解.所以,当a=2,2<t<6时,关于x的方程f′(x)ex=12(t-2)2在区间[-2,t]上总有两个不同的解.(15分)

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解析

x(-∞,a-2)a-2(a-2,a)a(a,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗

考点

据考高分专家说,试题“已知函数f(x)=(x-a)2ex,a∈.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义:

一般地,如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零,即f(a)=o,则a叫做这个函数的零点,有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标,也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质:

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的,则有:(1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负,在通过第二个零点3时,函数值又由负变为正.(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号,

方程的根与函数的零点的联系:

方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点

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