已知f=ex

题文

已知f（x）=ex-ax（e=2.718…）（I）讨论函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅲ） A（xl，yl），B（x2，y2）是f（x）的图象上任意两点，且x1＜x2，若总存在xo∈R，使得f′(xo)=y1-y2x1-x2，求证：xo＞xl． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵f（x）=ex-ax，∴f′（x）=ex-a，令f′（x）=ex-a＞0，①当a≤0时，f′（x）=ex-a＞0在x∈R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增．②当a＞0时，∵f′（x）=ex-a＞0，∴ex-a＞0，解得x＞lna，∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．（II）∵函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，∴由（Ⅰ）知a＞0，且f(0)=1＞0f(lna)=elna-alna＜0f(2)=e2-2a＞0，解得e＜a＜e22．故a的取值范围是（e，e22）．（Ⅲ）证明：f′（x0）=y1-y2x1-x2⇔ex0-a=ex1-ex2-a(x1-x2)x1-x2⇔ex0=ex1-ex2x1-x2  ，等式两边同时除以ex1，得ex0ex1=1-ex2-x1x1-x2，设t=x2-x1，则t＞0，构造函数g（t）=1-et-t=et-1t．则g′(t)=et•t-(et-1)t2=et(t-1)+1t2＞0在t＞1时恒成立，所以g（t）在t＞1时恒成立，所以g（t）＞g（1）=e-1＞1，所以ex0ex1＞1，故x0＞x1．

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解析

f(0)=1＞0f(lna)=elna-alna＜0f(2)=e2-2a＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=ex-ax（e=2.718.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点