已知函数f定义域为R，且f=1，对任意x，y∈R恒有f=f

题文

已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）-13y2（2x-y+3），（1）求函数f（x）的表达式；（2）若方程f（x）=a有三个实数解，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f(x-y)=f(x)-13y2(2x-y+3)，∴令y=x，代入可得f(0)=f(x)-13x2(2x-x+3)，即f(x)=13x3+x2+1，（2）因为方程f（x）=a有三个实数解，所以函数y=f（x）与y=a图象有三个交点又因为f′（x）=x2+2x=x（x+2），当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（-2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=-2时f（x）取极大值，f(x)极大值=73，当x=0时，f（x）取极小值，f（x）极小值=1，∴1＜a＜73

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点