设函数f(x)=x3+x2+(m2

题文

设函数f(x)=x3+x2+(m2-1)x(x∈R)，其中m＞0， (Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率； (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值； (Ⅲ)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)当m=1时，，f′(x)=-x2+2x，故f′(1)=1，所以曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线的斜率为1。 (Ⅱ)f′（x）=x2+2x+m2-1，令f′(x)=0，解得x=1-m或x=1+m，因为m＞0，所以1+m＞1-m，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： 所以f(x)在（-∞，1-m），(1+m，+∞)内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数，函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m)，且，函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且。 (Ⅲ)由题设，， 所以方程有两个相异的实根x1，x2，故，且，解得（舍）或，因为x1＜x2，所以，故，若，则，而f(x1)=0，不合题意，若1＜x1＜x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x＞0，x-x1≥0，x-x2≤0，则， 又f(x1)=0，所以 f(x)在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立的充要条件是， 解得； 综上，m的取值范围是。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x3+x2+(m2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点