已知函数是定义在R上的奇函数，且，在[0，2]上是增函数，则下列结论：①若，则；②若且③若方程在[

题文

已知函数是定义在R上的奇函数，且，在[0，2]上是增函数，则下列结论：①若，则；②若且③若方程在[-8，8]内恰有四个不同的角，则，其中正确的有  （   ）A．0个B．1个C．2个D．3个 题型：未知 难度：其他题型

答案

D

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解析

解：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），此函数是以8为周期的周期函数，又f（x）是奇函数，且在[0，2]上为增函数∴f（x）在[-2，0]上也是增函数当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，且由已知可得f（x-4）=-f（x），则可得函数f（x）在[2，4]上单调递减，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[-4，-2]上也是单调递减①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，则0＜x1＜4-x1＜4，即0＜x1＜2，-2＜x1-4＜0由f（x）在[0，2]上是增函数可得f（x）在[-2，0]上也是增函数，则f（x1）＞f（x1-4）=f（-x2）=-f（x2），则f（x1）+f（x2）＞0；故①正确②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，则0＜x1＜5-x1＜4，即1＜x1＜5/2，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x1）＞f（x2）；故②正确；③四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），另两个交点的横坐标之和为2×2，此时x1+x2+x3+x4=-12+4=-8，故③正确；故答案为①②③

考点

据考高分专家说，试题“已知函数是定义在R上的奇函数，且，在[0.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|