已知函数f(x)=ax+bx2+1在点M(1，f(1))处的切线方程为x

题文

已知函数f(x)=ax+bx2+1在点M(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=lnx，证明：g（x）≥f（x）对x∈[1，+∞）恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）将x=1代入切线方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．又f(1)=a+b2，化简得a+b=0．f′(x)=a(x2+1)-(ax+b)•2x(1+x2)2，f′(1)=2a-2(a+b)4=-2b4=-b2=1．解得a=2，b=-2，∴f(x)=2x-2x2+1．（Ⅱ）证明：要证lnx≥2x-2x2+1在[1，+∞）上恒成立，即证（x2+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，即证x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．设h（x）=x2lnx+lnx-2x+2，则h′(x)=2xlnx+x+1x-2．∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+1x≥2，即h'（x）≥0．∴h（x）在[1，+∞）上x∈[1，+∞）单调递增，h（x）≥h（1）=0∴g（x）≥f（x）在上恒成立．

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解析

a+b2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax+bx2+1在点M.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|