已知函数f=ax+lnx，a∈R．讨论y=f的单调性；若定义在区间D上的函数y=g对于区间D上的任意两个值x1、x2总有不等式12

题文

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（1）讨论y=f（x）的单调性；（2）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有不等式12[g(x1)+g(x2)]≥g(x1+x22)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凹函数”．试证明：当a=-1时，g(x)=|f(x)|+1x为“凹函数”． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=0时，函数f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函数；…（1分）由已知，x∈（0，+∞），f′(x)=a+1x=ax+1x，…（3分）当a＞0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；…（4分）当a＜0时，解f′(x)=ax+1x＞0得0＜x＜-1a，解f'（x）＜0得x＞-1a，所以函数f（x）在(0，-1a)上是增函数，在(-1a，+∞)上是减函数．…（5分）综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，函数f（x）在(0，-1a)上是增函数，在(-1a，+∞)上是减函数．（2）当a=-1时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=-1，即f（x）＜0恒成立．所以g(x)=|f(x)|+1x=-f(x)+1x=1x+x-lnx，x∈（0，+∞）．…（6分）设x1，x2∈（0，+∞），计算12[g(x1)+g(x2)]=12(1x1+x1-lnx1+1x2+x2-lnx2)=x1+x22x1x2+x1+x22-ln

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|