设函数f=a2x

题文

设函数f（x）=a2x-(t-1)ax（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x2）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的反函数过点(32，1)，是否存在正数m，且m≠1使函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log23]上的最大值为0，若存在求出m的值，若不存在请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）=a2x-(t-1)ax（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即a0-(t-1)a0=0，∴t=2；（2）由（1）可知，t=2，∴f（x）=a2x-1ax，∵f（1）＞0，∴a2-1a＞0，即(a+1)(a-1)a＞0，又∵a＞0，∴a＞1，∵f（x）为奇函数，∴-f（x-1）=f（1-x），∴不等式f（kx-x2）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立，即f（kx-x2）＜f（1-x）对一切x∈R恒成立，∵a＞1，则y=ax在R上为单调递增函数，∴f（x）=a2x-1ax=ax-1ax在R上为单调递增函数，∴kx-x2＜1-x对一切x∈R恒成立，即x2-（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，∴△=（k+1）2-4＜0，即k2+2k-3＜0，∴-3＜k＜1，∴实数k的取值范围为-3＜k＜1；（3）假设存在正数m，且m≠1符合题意，∵函数f（x）的反函数过点（32，1），∴32=a2-1a，∴a=-12或a=2，∵a＞0，∴a=2，∵g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]，∴g（x）=logm[(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2]，令t=2x-2-x，∴（2x-2-x）-m（2x-2-x）+2=t2-mt+2，∵x∈[1，log23]，∴t∈[32，83]，记h（t）=t2-mt+2，∵函数g（x）=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log23]上的最大值为0，①当0＜m＜1时，y=logmh（t）是单调递减函数，∴函数h（t）=t2-mt+2在[32，83]有最小值1，∵对称轴t=m2＜12，∴函数h（t）在[32，83]上单调递增，∴h（t）min=h（32）=174-32m=1，∴m=136，∵0＜m＜1，∴m=136不符合题意；②当m＞1时，则函数h（t）＞0在[32，83]上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，∵函数h（t）=t2-mt+2在[32，83]有最大值1，h（t）的对称轴为x=m2，（i）当m2＜2512，即m＜256时，当t=83时，h（t）取得最大值h（83）=829-8m3=1，∴m=7324，又∵m2=7348∈[32，83]，∴当t=7348时，h（t）取得最小值h（7348）＜0，∴g（x）在[1，log23]无意义，∴m=7324不符合题意；（ii）当m2≥2512，即m≥256时，当t=32时，h（t）取得最大值h（32）=174-3m2=1，∴m=136，∵m≥256，∴m=136不符合题意．综上所述，不存在正数m，使函数g（x）在[1，log23]上的最大值为0．

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解析

a2x-(t-1)ax

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=a2x-(t-1)ax（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|