已知g，h分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g+h=ex．求g，h的解析式；解不等式h+h（x

题文

已知g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）+h（x）=ex．（1）求g（x），h（x）的解析式；（2）解不等式h（x2+2x）+h（x-4）＞0；（3）若对任意x∈[ln2，ln3]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由g(-x)+h(-x)=e-xg(x)+h(x)=ex，得g(x)-h(x)=e-xg(x)+h(x)=ex，解得g（x）=ex+e-x2，h（x）=ex-e-x2．（2）因为h（x）在R上时单调递增的奇函数，所以h（x2+2x）+h（x-4）＞0⇔h（x2+2x）＞h（4-x），所以x2+3x-4＞0，解得x＞1或x＜-4，所以不等式的解集为：{x|x＞1或x＜-4}．（3）g（2x）-ah（x）≥0，即得e2x+e-2x2-a•ex-e-x2≥0，参数分离得a≤e2x+e-2xex-e-x=(ex-e-x)2+2ex-e-x=ex-e-x+2ex-e-x，令t=ex-e-x，则ex-e-x+2ex-e-x=t+2t=F（t），于是F（t）=t+2t，t∈[32，83]，因为F（t）min=F（32）=176，所以a≤176．

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解析

g(-x)+h(-x)=e-xg(x)+h(x)=ex

考点

据考高分专家说，试题“已知g（x），h（x）分别是定义在R上的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|