已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx．当x＞0时，F=m，且F为R上的奇函数．求x＜0时，F的表达式；

题文

已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．（1）当x＞0时，F（x）=m（x），且F（x）为R上的奇函数．求x＜0时，F（x）的表达式；（2）若f（x）=m（x）+n（x）为偶函数，求k的值；（3）对（2）中的函数f（x），设g(x)=log4(2x-1-43a)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵x＞0时，F（x）=m（x）=log4(4x+1)，∴当x＜0时，-x＞0，∴F（-x）=log4(4-x+1)，又F（x）为R上的奇函数，∴-F（x）=log4(4-x+1)，即F（x）=-log4(4-x+1)…（3分）（2）∵函数f（x）=m（x）+n（x）=log4(4x+1)+kx为偶函数，∴f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，…（5分）而log4(4-x+1)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x，∴-x-kx=kx恒成立，∴2k+1=0，∴k=-12…（7分）（3）∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，∴方程log4(4x+1)-12x=log4(2x-1-43a)有且只有一个实根，…（8分）化简得：方程2x+12x=2x-1-43a有且只有一个实根，…（9分）令t=2x＞0，则方程12t2+43at+1=0有且只有一个正根，①△=0⇒a=-324，②若一个正根和一个负根，不满足题意…（11分）所以实数a的取值范围为{a|a=-324}…（12分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数m(x)=log4(4x+1)，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|