已知P是函数y=f图象上的任意一点，M、N为该图象的两个端点，点Q满足MQ=λMN，PQ•i=0

题文

已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M、N为该图象的两个端点，点Q满足MQ=λMN，PQ•i=0（其中0＜λ＜1，i为x轴上的单位向量），若|PQ|≤T（T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=2x+1；②y=1x；③y=x2．则在区间[1，2]上具有“14级 线性逼近”的函数的个数为（ ）A．0B．1C．2D．3 题型：未知 难度：其他题型

答案

由MQ=λMN，可得Q点在线段MN上，由PQ•i=0，可得P，Q两点的横坐标相等，故|PQ|即为P，Q两点纵坐标差的绝对值，当f（x）=y=2x+1，x∈[1，2]，则M（1，3），N（2，5），函数y=f（x）的图象即为线段MN，故|PQ|=0≤14恒成立，满足条件；当f（x）=1x时，则M（1，1），N（2，12），线段MN的方程为y=-12x+32，此时|PQ|=-12x+32-1x，则|PQ|′=-12+1x2，令|PQ|′=0，则x=2，故当x=2时，|PQ|取最大值32-2，故|PQ|≤14恒成立，满足条件；当f（x）=x2．则M（1，1），N（2，4），线段MN的方程为y=3x-2，此时|PQ|=-x2+3x-2，当x=32时，|PQ|取最大值14，故|PQ|≤14恒成立，满足条件；故在区间[1，2]上具有“14级线性逼近”的函数的个数为3个故选D

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解析

MQ

考点

据考高分专家说，试题“已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n].....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|