已知奇函数f的定义域为，当x∈时，f(x)=2x2x+1．求f在上的解析式；判断f在上

题文

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=2x2x+1．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，故f(-x)=2-x2-x+1=12x+1，又f（x）为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-12x+1，由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，所以，f（x）=2x2x+1，0＜x＜10，x=0-11+2x，-1＜x＜0．（2）f（x）在（0，1）上单调递增．证明：任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=2x21+2x2-2x11+2x1=2x2-2x1(1+2x1)(1+2x2)，因为y=2x在x∈R上递增，且0＜x1＜x2，所以2x2-2x1＞0，因此f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），故f（x）在（0，1）上单调递增．

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解析

2-x2-x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|