已知函数f(x)=12x2+(a

题文

已知函数f(x)=12x2+(a-3)x+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）方程f(x)=(12-a)x2+(a-2)x+2lnx．有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点的横坐标为x0，有f′（x0）=y1-y2x1-x2成立？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f/(x)=x+a-3+1x(x＞0)．（2分）若函数f（x）在（0，+∞）上递增，则f′（x）≥0对x＞0恒成立，即a≥-(x+1x)+3对x＞0恒成立，而当x＞0时，-(x+1x)+3≤-2+3=1．∴a≥1．若函数f（x）在（0，+∞）上递减，则f′（x）≤0对x＞0恒成立，即a≤-(x+1x)+3对x＞0恒成立，这是不可能的．综上，a≥1．a的最小值为1．（6分）（Ⅱ）由f(x)=(12-a)x2+(a-2)x+2lnx=0，得：(a-12)x2+(2-a)x=2lnx，即：a=lnx+xx2，令r（x）=lnx+xx2，r′（x）=(1x+1)x2-2x(lnx+x) x4=1-x-2lnxx3得1-x-2lnx=0的根为1，所以当0＜x＜1时，r′（x）＞0，则r（x）单调递增，当x＞1时，r′（x）＜0，则r（x）单调递减，所以r（x）在x=1处取到最大值r（1）=1，又x→0时r（x）→0，又x→+∞时，r（x）→0，所以要使y=lnx+xx2与y=a有两个不同的交点，则有 0＜a＜1                                       …8分（III）假设存在，不妨设0＜x1＜x2.k=f(x1)-f(x2)x1-x2=12x21+(a-3)x1+lnx1-12x22-(a-3)x2-lnx2x1-x2=x0+(a-3)+lnx1x2x1-x2．（9分）f/(x0)=x0+(a-3)+1x0．若k=f′（x0），则lnx1x2x1-x2=1x0，即lnx1x2x1-x2=2x1+x2，即lnx1x2=2x1x2-2x1x2+ 1．（*）（12分）令t=x1x2，u(t)=lnt-2t-2t+1（0＜t＜1），则u′(t)=(t-1)2t(t+1)2＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函数，∴u（t）＜u（1）=0，∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k≠f′（x0）．因此，满足条件的x0不存在．（16分）

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=12x2+(a-3)x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|