已知直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥P

题文

已知直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)和图象交于点Q，∴点Q（2，2）．由于 P、M分别是直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)的图象上异于点Q的两点，设M（a，2a），且 a＞0，a≠2，设P（b，b），则由PM≥PQ恒成立，可得 （b-a）2+(b-2a)2≥(b-2)2+(b-2)2 恒成立，化简可得 （2a+4a-42）b≤a2+4a2-4．由于a＞0，a≠2时，故（2a+4a-42）＞0，且 a2+4a2-4＞0，由不等式可得b≤a2+4a2-42a+4a-42=a4+4-4a22a3+4a-42a 2=12a•(a2 -2)2(a-2)2=12a•( a2 -2 a-2 )2=12a•(a+2)2=a2+1a+2．即 b≤a2+1a+2．由a＞0，a≠2，利用基本不等式可得a2+1a+2＞22，故 b≤22．再由题意可得，b≠2，故点P横坐标b的取值范围是 (-∞，2)∪（2，22]．故答案为 (-∞，2)∪（2，22]．

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解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知直线y=x与函数g(x)=2x(x＞.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|