已知函数f(x)=eaxx2+xa+1a

题文

已知函数f(x)=eaxx2+xa+1a-3e249(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．（1）当a＞14时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′(x)=eax(ax2-x+a-1a)(x2+xa+1a)2，因eax＞0且a＞14，故只需讨论ax2-x+a-1a的符号所以 ①当a≥54时，f′（x）≥0，f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数②当14＜a＜54时，令f′（x）=0解得x1=1-5-4a2a，x2=1+5-4a2a．当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：x(-∞，1-5-4a2a)1-5-4a2a(1-5-4a2a，1+5-4a2a)1+5-4a2a(1+5-4a2a，+∞)f'（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）在(-∞，1-5-4a2a)，(1+5-4a2a，+∞)，为增函数，f（x）在(1-5-4a2a，1+5-4a2a)为减函数．                           …（6分）（2）考查反面情况：∀x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即h(x)=exx2+x+1-3e249-bx≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．首先h(2)=e27-3e249-2b≥0，即b≤2e249，其次，h′(x)=ex(x2-x)(x2+x+1)-b，考虑M(x)=ex(x2-x)(x2+x+1)因M′(x)=ex(x2+x+1)[x3(x-2)+3x2+2x-1](x2+x+1)4＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，所以M(x)≥M(2)=2e249，所以当b≤2e249时，h′(x)=ex(x2-x)(x2+x+1)-b≥2e249-b≥0，故h（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，又h（2）≥0，所以h(x)=exx2+x+1-3e249-bx≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，所以b≤2e249，综上b＞2e249…（14分）

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解析

eax(ax2-x+a-1a)(x2+xa+1a)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=eaxx2+xa+1a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|