已知函数f=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F=f(x)，x＞0

题文

已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=f(x)，x＞0-f(x)，x＜0，（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，有a-b+1=0△=b2-4a=0，解得a=1b=2，∴f（x）=x2+2x+1，∴F(x)=x2+2x+1，(x＞0)-x2-2x-1，(x＜0).（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x2+2x+1+kx=x2+（k+2）x+1，∴函数g（x）的对称轴x=-k+22，∵g（x）在区间[-1，1]上是单调函数，∴-k+22≤-1，或-k+22≥1．解得    k≥0，或k≤-4．∴实数k的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞），（3）∵f（x）=ax2+bx+1为偶函数，∴b=0，即f（x）=ax2+1（a＞0），∴F(x)=ax2+1，(x＞0)-ax2-1，(x＜0).∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨设n＜0＜m，则有0＜-n＜m，∴m-n＞0，m+n＞0．∵F（m）+F（n）=am2+1-an2-1=a（m+n）（m-n），∴F（m）+F（n）＞0．

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解析

a-b+1=0△=b2-4a=0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|