已知定义在R上的函数f=ax3

题文

已知定义在R上的函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-25．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（Ⅲ）若x1，x2∈[-1，1]时，求证：|f （x1）-f （x2）|≤45． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0又f（-1）=-f（1），即-a-2b-c=-a+2b-c，∴b=0∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c．∵x=1时，f（x）取极小值-25，∴3a+c=0且 a+c=-25．解得a=15，c=-35．∴f（x）=15x3-35x…4（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．假设图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得过此两点处的切线互相垂直，则由f′（x）=35（x2-1）知两点处的切线斜率分别为k1=35(x21-1)，k2=35(x22-1)，且925(x21-1)(x22-1)=1             （*）∵x1，x2∈[-1，1]，∴x21-1≤0，x22-1≤0∴（x21-1）（x22-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立  …（8分）（文12分）（Ⅲ）证明：f′（x）=35（x2-1），令f′（x）=0，得x=±1∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=25，fmin（x）=f（1）=-25．∴在[-1，1]上|f（x）|≤25，于是x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤25+25=45…（12分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）=ax3-2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|