已知函数f=2x，g=

题文

已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2+2x+b（b∈R），记h(x)=f(x)-1f(x)．（Ⅰ）判断h（x）的奇偶性，并证明；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，都存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2）．若f（x1）=g（x2），求实数b的值；（Ⅲ）若2xh（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分14分）（Ⅰ）函数h(x)=2x-12x为奇函数…（2分）现证明如下：∵函数h（x）的定义域为R，关于原点对称．…（3分）由h(-x)=2-x-12-x=12x-2x=-(2x-12x)=-h(x)…（5分）∴函数h(x)=2x-12x为奇函数…（6分）（Ⅱ）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2）…（7分）∵f（x）=2x在区间[1，2]上单调递增，∴f(x)max=f(2)=22=4，即f（x1）=4…（8分）又∵g（x）=-x2+2x+b=-（x-1）2+b+1∴函数y=g（x）的对称轴为x=1∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减∴g（x）max=g（1）=1+b，即g（x2）=1+b…（9分）由f（x1）=g（x2），得1+b=4，∴b=3…（10分）（Ⅲ）当x∈[1，2]时，2x(22x-122x)+m(2x-12x)≥0即m（22x-1）≥-（24x-1），∵22x-1＞0，∴m≥-（22x+1）…（12分）令k（x）=-（22x+1），x∈[1，2]下面求函数k（x）的最大值．∵x∈[1，2]，∴-（22x+1）∈[-17，-5]，∴k（x）max=-5…（13分）故m的取值范围是[-5，+∞）…（14分）

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解析

12x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|