已知函数f(x)=ax2+xe

题文

已知函数f(x)=ax2+xe-lnx（其中a为常数，e为自然对数的底数）．（1）任取两个不等的正数x1、x2，f(x1)-f(x2)x1-x2＜0恒成立，求：a的取值范围；（2）当a＞0时，求证：f（x）=0没有实数解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)f′(x)=2ax+1e-1x(x＞0)…(2分)，由条件f′(x)=2aex2+x-eex≤0恒成立…(4分)，∴2ae≤e-xx2…(6分)，∵e-xx2=e(1x-12e)-14e≥-14e∴2ae≤-14e，∴a≤-18e2…(8分)．（2）令g（x）=ax+1e（x＞0），h（x）=lnxx（x＞0），当a＞0时，f（x）＞1e，h′（x）=1-lnx2，令h′（x）＞0，则x∈（0，e），故h（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，∴h（x）最大值为：h（e）=1e，∴x＞0时，g（x）＞h（x）恒成立，即ax+1e＞lnxx，即ax2+xe-lnx＞0恒成立，∴f（x）=0无解．

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解析

1e

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax2+xe-lnx（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|