函数y=f的定义域D={x

题文

函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x1，x2，都有f（x1）+f（x2）=f（x1x2）成立．（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；（2）若f（-4）=4，记 an=(-1)n•f(2n) &(n∈N，n≥1)，求数列{an}的前2009项的和S2009；（3）（理） 若x＞1时，f（x）＜0，且不等式f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)对任意正实数x，y恒成立，求非零实数a的取值范围．（4）（文） 若x＞1时，f（x）＜0，解关于x的不等式 f（x-3）≥0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）赋值得f（1）=f（-1）=0，…（2分）∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）∴函数为偶函数              …（4分）（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2n）=f（2n-1）+f（2）∴f（2n）=2n…（8分）∴an=2•（-1）nn，∴S2009=-2010…（10分）（3）设 0＜x＜1，则1x＞1，0=f(1)=f(x)+f(1x)，得f（x）＞0（0＜x＜1）…（14分）（理）f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)得f(x2+y2axy)≤0⇔x2+y2|a|xy≥1|a|≤x2+y2xy恒成立，又x2+y2xy≥2，从而0＜|a|≤2…（18分）（4）（文）f（x-3）≥0⇔0＜|x-3|≤1⇔2≤x＜3或3＜x≤4…（18分）

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|