已知f(x)=loga1

题文

已知f(x)=loga1-mxx-1是奇函数（其中0＜a＜1）（1）求m值；（2）判断f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：f（-x）=-f（x），所以loga1-mxx-1+loga1+mx-x-1=0对任意x∈D恒成立，即（m2-1）x2=0恒成立，所以m=±1，当m=1时，函数无意义，故舍去，∴m=-1；（2）由（1）可得：f(x)=logax+1x-1，并且f（x）在（1，+∞）上单调递增．证明：设1＜x1＜x2，则x1+1x1-1-x2+1x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)∵1＜x1＜x2，∴x1-1＞0，x2-1＞0，x2-x1＞0，∴2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)＞0，即x1+1x1-1＞x2+1x2-1＞0，又∵0＜a＜1，∴logax1+1x1-1＜logax2+1x2-1，即f（x1）＜f（x2）∴函数f(x)=logax+1x-1在（1，+∞）上单调递增．

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解析

1-mxx-1

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=loga1-mxx-1是奇.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|