定义在R上的奇函数f有最小正周期2，且当x∈时，f=2x+2

题文

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x+2-x．（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；（2）判断f（x）在（-2，-1）上的单调性，并给予证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（-1）=f（-1+2）=f（1），且f（-1）=-f（1），于是f（-1）=0．…（2分）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），f（x）=-f（-x）=-（2-x+2x）=-2x-2-x．…（5分）所以f（x）在[-1，0）上的解析式为f(x)=0，                 (x=-1)-2x-2-x，  (-1＜x＜0)…（7分）（2）f（x）在（-2，-1）上是单调增函数．…（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．[方法1]设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2x2+2-x2=(2x1-2x2)(1-12x1+x2)因为0＜x1＜x2＜1，所以2x1＜2x2，  2x1+x2＞1，于是2x1-2x2＜0，  1-12x1+x2＞0，从而f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）[方法2]当x∈（0，1）时，f'（x）=（2x-2-x）ln2．因为ln2＞0，2x-2-x＞0，所以f'（x）=（2x-2-x）ln2＞0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）[注]第（2）小题亦可利用周期性求出f（x）=2x+2+2-x-2（-2＜x＜-1），再利用定义或导数确定单调性．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

0，                 (x=-1)-2x-2-x，  (-1＜x＜0)

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|