题文
定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x+2-x.(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;(2)判断f(x)在(-2,-1)上的单调性,并给予证明. 题型:未知 难度:其他题型答案
解;(1)因为奇函数f(x)的定义域为R,周期为2,所以f(-1)=f(-1+2)=f(1),且f(-1)=-f(1),于是f(-1)=0.…(2分)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),f(x)=-f(-x)=-(2-x+2x)=-2x-2-x.…(5分)所以f(x)在[-1,0)上的解析式为f(x)=0, (x=-1)-2x-2-x, (-1<x<0)…(7分)(2)f(x)在(-2,-1)上是单调增函数.…(9分)先讨论f(x)在(0,1)上的单调性.[方法1]设0<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2x2+2-x2=(2x1-2x2)(1-12x1+x2)因为0<x1<x2<1,所以2x1<2x2, 2x1+x2>1,于是2x1-2x2<0, 1-12x1+x2>0,从而f(x1)-f(x2)<0,所以f(x)在(0,1)上是单调增函数.…(12分)因为f(x)的周期为2,所以f(x)在(-2,-1)上亦为单调增函数.…(14分)[方法2]当x∈(0,1)时,f'(x)=(2x-2-x)ln2.因为ln2>0,2x-2-x>0,所以f'(x)=(2x-2-x)ln2>0,所以f(x)在(0,1)上是单调增函数.…(12分)因为f(x)的周期为2,所以f(x)在(-2,-1)上亦为单调增函数.…(14分)[注]第(2)小题亦可利用周期性求出f(x)=2x+2+2-x-2(-2<x<-1),再利用定义或导数确定单调性.点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
0, (x=-1)-2x-2-x, (-1<x<0)考点
据考高分专家说,试题“定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义:
偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。 奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。 函数的周期性:
(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 (2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。
奇函数与偶函数性质:
(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。
注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
2、函数的周期性 令a , b 均不为零,若: (1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| (2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| (3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| (4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) = ==> 函数最小正周期 T=|2a| (5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) = ==> 函数最小正周期 T=|4a|
本文发布于:2023-02-04 19:31:46,感谢您对本站的认可!
本文链接:https://www.wtabcd.cn/fanwen/fan/89/382694.html
版权声明:本站内容均来自互联网,仅供演示用,请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系,我们将在24小时内删除。
留言与评论(共有 0 条评论) |