已知函数f满足2f=f，当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜

题文

已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-12)，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数b使得不等式x-bf(x)+x＞x对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数 b的取值集合，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），因为x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-12)，设x∈（-4，-2）时，则x+4∈（0，2），所以f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）∴f′(x)=4x+4+4a=4a•x+4+1ax+4，∵a＜-12，∴-4＜-1a-4＜-2，∴当x∈(-4，  -1a-4)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(-1a-4，-2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，∴f(x)max=f(-1a-4)=4ln(-1a)+4a(-1a)=-4，∴a=-1∴当x∈（0，2）时，f（x）=lnx-x（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式x-bf(x)+x＞x恒成立，即为x-blnx＞x恒成立，①当x∈（0，1）时，x-blnx＞x⇒b＞x-xlnx，令g(x)=x-xlnx，x∈(0，1)则g′(x)=1-lnx2x-1x=2x-lnx-22x令h(x)=2x-lnx-2，则当x∈（0，1）时，h′(x)=1x-1x=x-1x＜0∴h（x）＞h（1）=0，∴g′(x)=h(x)2x＞0，∴g（x）＜g（1）=1，故此时只需b≥1即可；②当x∈（1，2）时，x-blnx＞x⇒b＜x-xlnx，令φ(x)=x-xlnx，x∈(1，2)则φ′(x)=1-lnx2x-1x=2x-lnx-22x令h(x)=2x-lnx-2，则当x∈（1，2）时，h′(x)=1x-1x=x-1x＞0∴h（x）＞h（1）=0，∴φ′(x)=h(x)2x＞0，∴φ（x）＜φ（1）=1，故此时只需b≤1即可，综上所述：b=1，因此满足题中b的取值集合为：{1}

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|