设a，b∈R，且a≠2，定义在区间内的函数f=lg1+ax1+2x是奇函数．求b的取值范围；讨论函数f的单调性．

题文

设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．（1）求b的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）f（x）=lg1+ax1+2x（-b＜x＜b）是奇函数等价于：对任意x∈（-b，b）都有f(-x)=-f(x) ①1+ax1+2x＞0 ②①式即为lg1-ax1-2x=lg1+2x1+ax，由此可得1-ax1-2x=1+2x1+ax，也即a2x2=4x2，此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于a2=4，因为a≠2，所以a=-2，代入②式，得1-2x1+2x＞0，即-12＜x＜12，此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于-12≤-b＜b≤12，所以b的取值范围是（0，12]．（2）设任意的x1，x2∈（-b，b），且x1＜x2，由b∈（0，12]，得-12≤-b＜x1＜x2＜b≤12，所以0＜1-2x2＜1-2x1，0＜1+2x1＜1+2x2，从而f（x2）-f（x1）=lg1-2x21+2x2-lg1-2x11+2x1=lg(1-2x2)(1+2x1)(1+2x2)(1-2x1)＜lg1=0因此f（x）在（-b，b）内是减函数．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

1+ax1+2x

考点

据考高分专家说，试题“设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|