已知y=f同时满足下列两个条件：①函数f在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f在区间[

题文

已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：（1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；（3）若y=k+x(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）在区间(-∞，12]上单调递减，在(12，+∞)上单调递增；所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．（2）先证y=-x3符合条件①：对于任意x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+12x1)2+34x12]＞0，∴y1＞y2，故y=-x3是R上的减函数．又因为y=-x3在[-1，1]上的值域是[-1，1]．所以函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；（3）易知y=k+x是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有a=k+ab=k+b；故a，b是x=k+x的两个不等根，即方程组为：x2-(2k+1)x+k2=0x≥0x≥k有两个不等非负实根；设x1，x2为方程x2-（2k+1）x+k2=0的二根，则△=(2k+1)2-4k2＞0x1+x2=2k+1＞0x1x2=k2≥0k＜0，解得：-14＜k＜0∴k的取值范围(-14，0)．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|