已知函数f=lnx，g=x2

题文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-1．（1）求函数h（x）=f（x）-12g（x）的最值；（2）对于一切正数x，恒有f（x）≤k（x2-1）成立，求实数k的取值组成的集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）h(x)=lnx-12(x2-1)，(x＞0)求导函数可得h′(x)=1x-x=1-x2x，(x＞0)，所以函数h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．所以h（x）的最大值为h（1）=0．…．（3分）（2）令函数F（x）=lnx-k（x2-1）得F′(x)=1x-2kx=1-2kx2x当k≤0时，F′（x）＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）递增，故x＞1时，F（x）＞F（0）=0不满足题意．…．（5分）当k＞0时，当x∈(0，12k)时，F′（x）＞0恒成立，函数F（x）递增；当x∈(12k，+∞)时，F′（x）＜0恒成立，函数F（x）递减．所以F(x)≤F(12k)=ln(12k)-12+k；即 F（x）的最大值F(12k)≤0…．（8分）令t=12k，则k=12t2，(t＞0)．令函数H(t)=lnt+12t2-12，H/(t)=1t-1t3=t2-1t3所以当t∈（0，1）时，函数H（t）递减；当t∈（1，+∞）时，函数H（x）递增；所以函数H（t）≥H（1）=0，从而F(12k)=H(t)≥0，∴F(12k)=H(t)=0…（11分）就必须当t=12k=1，即k=12时成立．综上k∈{12}．…．（12分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|