已知数列{an}、{bn}满足：a1=14，an+bn=1，bn+1=bn(1

题文

已知数列{an}、{bn}满足：a1=14，an+bn=1，bn+1=bn(1-an)(1+an)．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设cn=1bn-1，求数列{cn}的通项公式；（Ⅲ）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本题14分）（Ⅰ） SnSn+2-S2n+1=m(Sn+Sn+2-2Sn+1)，∵[lg（Sn-m）+lg（Sn+2-m）]=2lg（Sn+1-m），∴b2=45，b3=56，b4=67．…（4分）（Ⅱ）∵bn+1-1=12-bn-1，∴1bn+1-1=2-bnbn-1=-1+1bn-1，…（5分）∴数列{cn}是以-4为首项，-1为公差的等差数列．∴cn=-4+（n-1）•（-1）=-n-3．…（7分）（Ⅲ）由于cn=1bn-1=-n-3，所以bn=n+2n+3，从而an=1-bn=1n+3..…（8分）∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=14×5+15×6+…1(n+3)(n+4)=14-1n+4=n4(n+4)∴4aSn-bn=ann+4-n+2n+3=(a-1)n2+(3a-6)n-8(n+3)(n+4)…（10分）由条件知（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，设f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8，当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，当a＜1时，对称轴 n=-32•a-2a-1=-32(1-1a-1)＜0，f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．f（1）=（a-1）n2+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，∴a＜154，∴a＜1时4aSn＜bn恒成立综上知：a≤1时，4aSn＜bn恒成立…（14分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}、{bn}满足：a1=1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|