设函数f的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f＞f恒成立，则称函数f在D上的“k阶增函数”．已知f（x

题文

设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）在D上的“k阶增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，x＞0时，f（x）=|x-a|-a，其中a为正常数，若f（x）为R上的“2阶增函数”，则实数a的取值范围是（ ）A．（0，2）B．（0，1）C．（0，12）D．（0，14） 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-a，∴f(x)=|x-a|-a，x＞0-|x+a|+a，x＜0，又f（x）为R上的“2阶增函数”，当x＞0时，由定义有|x+2-a|-a＞|x-a|-a，即|x+2-a|＞|x-a|，其几何意义为到点a小于到点a-2的距离，由于x＞0故可知a+a-2＜0得a＜1．当x＜0时，分两类研究：①若x+2＜0，则有-|x+2+a|+a＞-|x+a|+a，即|x+a|＞|x+2+a|，其几何意义表示到点-a的距离小于到点-a-2的距离，由于x＜0，故可得-a-a-2＞0，得a＜-1；②若x+2＞0，则有|x+2-a|-a＞-|x+a|+a，即|x+a|+|x+2-a|＞2a，其几何意义表示到到点-a的距离与到点a-2的距离的和大于2a，当a≤0时，显然成立，当a＞0时，由于|x+a|+|x+2-a|≥|-a-a+2|=|2a-2|，故有|2a-2|＞2a，必有2-2a＞2a，解得a＜12，综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是a＜12．故选C．

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解析

|x-a|-a，x＞0-|x+a|+a，x＜0

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|