设奇函数f对任意x∈R都有f(x)=f(x

题文

设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+12．（1）求f(12)和f(kn)+f(n-kn)(k=0，1，2，…，n)的值；（2）数列{an}满足：an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1)-f(12)，数列{an}是等差数列吗？请给予证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=f(x-1)+12，且f（x）是奇函数∴f(12)=f(12-1)+12=f(-12)+12=-f(12)+12∴2f(12)=12，故f(12)=14（3分）因为f(x)=f(x-1)+12=-f(1-x)+12，所以f(x)+f(1-x)=12．令x=kn，得f(kn)+f(1-kn)=12，即f(kn)+f(n-kn)=12．（6分）（2）令sn=f(0)+f(1n)+…+f(n-1n)+f(1)又sn=f(1)+f(n-1n)+…+f(1n)+f(0)两式相加2sn=[f(0)+f(1)]+[f(1n)+f(n-1n)]+…+[f(1)+f(0)]=n+12．所以sn=n+14，（6分）故an=sn-f(12)=n+14-14=n4，n∈N*（10分）又an+1-an=n+14-n4=14．故数列{an}是等差数列．（12分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x).....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|