已知定义域为R的函数f满足f=f+f，且当x＞0时，f＞0证明：函数f是奇函数；若f=2，求函数f（x

题文

已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）若f（1）=2，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（t2-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0…（1分）∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0∴-f（x）=f（-x）…（3分）∵f（x）的定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．…（4分）（2）在R上任取x1，x2，且x1＞x2，f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）∵x1-x2＞0，∴f（x1-x2）＞0∴f（x1）-f（x2）＞0，即：f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上单调递增．…（7分）∵f（1）=2，∴f（2）=f（1）+f（1）=4，f（-2）=-f（2）=-4…（8分）∴f（x）在[-2，2]上最大值为4，最小值为-4．…（9分）（3）∵f（t2-2t）+f（t2-k）＞0，f（x）是定义在R上的奇函数，∴f(t2-2t)＞-f(t2-k)=f(-t2+k)…（11分）由（2）可知f（x）在R上单调递增，∴t2-2t＞-t2+k，∴k＜2t2-2t=2(t-12)2-12恒成立…（12分）∴k＜-12…（14分）

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解析

f(t2-2t)＞-f(t2-k)=f(-t2+k)

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|