已知函数f(x)=(a

题文

已知函数f(x)=(a-12)x2-lnx(a∈R)（I）当a=l时，求f（x）在（0，e]上八最小值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）＜2ax恒成立，求实数a八取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当a=1时，f(a)=12a2-1na（a＞0），∴f′(a)=a-1a∴函数在（0，1）上，f′（a）＜0，函数单调递减，在（1，你]上，f′（a）＞0，函数单调递增，∴f（a）在（0，你]上的最小值为f（1）=12；（Ⅱ）在区间（1，+∞）上，函数f（a）＜2aa恒成立，即(a-12)a2-1na-2aa＜0在区间（1，+∞）上恒成立设g（a）=(a-12)a2-1na-2aa，则g′（a）=（a+1）（2a-1-1a）a∈（1，+∞）时，a+1＞0，0＜1a＜1①若2a-1≤0，即a≤12，g′（a）＜0，函数在（1，+∞）上为减函数，∴g（a）＜g（1）=-12-a，只需-12-a≤0，即-12≤a≤12时，g（a）＜0恒成立；②若0＜2a-1＜1，即12＜a＜1时，令g′（a）=0，得a=12a-1＞1，函数在（1，12a-1）上为减函数，（12a-1，+∞）为增函数，∴g（a）∈（g（12a-1），+∞），不合题意；③若2a-1≥1，即a≥1时，g′（a）＞0，函数在（1，+∞）上增减函数，∴g（a）∈（g（1），+∞），不合题意综上可知，-12≤a≤12时，g（a）＜0恒成立∴实数a的取值范围是[-12，12]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(a-12)x2-ln.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|