已知函数y=f，x∈N*，任取m，n∈N*，均有f=f+f+4

题文

已知函数y=f（x），x∈N*，任取m，n∈N*，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且f（1）=1，若p2-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，则t的最小值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2则f（n）=f（n-1+1）=f（n-1）+f（1）+4n-2=f（n-1）+4n-1=f（n-2）+4（n-1）-1+4n-1=f（1）+4×1+4×2+…+4（n-1）+4n-（n-1）=1+4n(n-1)2-n+12n2-3n+2=2n2-3n+2则f（x）=2x2-3x+2，（x∈N+）令g（p）=p2-tp则只需g（p）max≤f（x）min，即可满足p2-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，则f（x）的对称轴为x=34，x∈[3，+∞）则f（x）在[3，+∞）上是增函数，∴f（x）min=f（3）=11，而g（p）的对称轴p=t2，p∈[2，3]，若t2≤52，即t≤5，g（p）在p=3处取得最大值，g（p）max=g（3）=9-3t，可得9-3t≤11解得t≥-23，综上-23≤t≤5；若t2＞52，即t＞5，g（p）在p=2处取得最大值，g（p）max=g（2）=4-2t，可得4-2t≤11，解得t≥-72，综上t＞5，综上可得t≥-23；t的最小值为-23，故答案为-23；

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解析

4n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x），x∈N*，任取m，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|