已知定义在R上函数f(x)=b

题文

已知定义在R上函数f(x)=b-2xa+2x+1是奇函数．（1）对于任意t∈R不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．（2）若对于任意实数，m，x，f(x)＜m2+2tm+t+52恒成立，求t的取值范围．（3）若g（x）是定义在R上周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求g（x）=0的所有解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）为奇函数，即f（0）=0∴b=1，且f（-x）+f（x）=0∴a=2∴f(x)=1-2x2x+1+2=12x+1-12（2分）易证f（x）在R上单调递减（3分）由f（t2-2t）＜f（k-2t2）得t2-2t＞k-2t2即k＜3t2-2t恒成立又3t2-2t=3(t-13)2-13≥-13∴k＜-13（5分）（2）由f(x)=12x+1-12单调递减可知f(x)∈(-12，12)又f(x)＜m2+2mt+t+52恒成立∴只需12≤m2+2mt+t+52（7分）即m2+2mt+t+2≥0（m∈R）恒成立∴4t2-4（t+2）≤0即t2-t-2≤0∴t∈[-1，2]（9分）（3）∵g（x）为奇函数g（-1）+g（1）=0又g（x）的周期为2∴g（-1）=g（-1+2）=g（1）∴g（-1）=g（1）=0（10分）当x∈（-1，1）时g(x)=f(x)-x=12x+1-12-x为单调递减∴g（0）=0（11分）由g（x）的周期为2，∴所有解为x=n（n∈Z）（14分）

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解析

1-2x2x+1+2

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上函数f(x)=b-2xa+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|