已知函数f(x)=(m+1m)lnx+1x

题文

已知函数f(x)=(m+1m)lnx+1x-x，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当m=2时，f(x)=52lnx+1x-xf′(x)=52x-1x2-1=-(x-2)(2x-1)2x2（x＞0）令f'（x）＜0，可得0＜x＜12或x＞2；令f'（x）＞0，可得12＜x＜2，∴f（x）在(0，  12)和（2，+∞）上单调递减，在(12，  2)单调递减             故f(x)极大=f(2)=52ln2-32（2）f′(x)=m+1mx-1x2-1=-x2-(m+1m)x+1x2=-(x-m)(x-1m)x2（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则1m＞1，故x∈（0，m）∪(1m，  1)时，f′（x）＜0；x∈（m，1m）时，f'（x）＞0此时f（x）在（0，m），(1m，  1)上单调递减，在（m，1m）单调递增；           ②当m=1时，则1m=1，故x∈（0，1），有f′(x)=-(x-1)2x2＜0恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；                  ③当m＞1时，则0＜1m＜1，故x∈(0，  1m)∪（m，1）时，f'（x）＜0；x∈(1m，  m)时，f'（x）＞0此时f（x）在(0，  1m)，（m，1）上单调递减，在(1m，  m)单调递增       （3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即 m+1mx1-1x12-1=m+1mx2-1x22-1⇒x1+x2=(m+1m)x1x2∵x1≠x2，由不等式性质可得x1x2＜(x1+x22)2恒成立，又x1，x2，m＞0∴x1+x2＜(m+1m)(x1+x22)2⇒x1+x2＞4m+1m对m∈[3，+∞）恒成立      令g(m)=m+1m (m≥3)，则g′(m)=1-1m2=(m+1)(m-1)m2＞0对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴g(m)≥g(3)=103故4m+1m≤4g(3)=65从而“x1+x2＞4m+1m对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“x1+x2＞4g(3)=65”∴x1+x2的取值范围为(65，  +∞)

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(m+1m)lnx+1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|