已知函数f=ax3+bx2+cx为奇函数，且f在x=1处取得极大值2．求函数y=f的解析式；记g(x)=f(x)

题文

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）记g(x)=f(x)x+(k+1)lnx，求函数y=g（x）的单调区间；（3）在（2）的条件下，当k=2时，若函数y=g（x）的图象在直线y=x+m的下方，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0∴f'（x）=3ax2+c，且f（x）在x=1取得极大值2．∴f′(1)=0f(1)=2⇒3a+c=0a+c=2.解得a=-1，c=3，∴f（x）=-x3+3x（2）∵g（x）=-x2+3+（k+1）lnx，∴g′(x)=-2x+(k+1)1x=-2x2+(k+1)x因为函数定义域为（0，+∞），所以①当，k=-1时，g'（x）=-2x＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；②当k＜-1时，k+1＜0，∵x＞0，∴g′(x)=-2x2+(k+1)x＜0．可得函数在（0，+∞）上单调递减；③k＞-1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得-2x2+(k+1)x＞0，∵x＞0，∴-2x2+（k+1）＞0，得-k+12＜x＜k+12，结合x＞0，得0＜x＜k+12；令g'（x）＜0，得-2x2+(k+1)x＜0，同上得2x2＞（k+1），解得x＞k+12，∴k＞-1时，单调递增区间为（0，k+12），单调递增区间为（k+12，+∞）综上，当k≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当k＞-1时，函数的单调递增区间为（0，k+12），单调递减区间为（k+12，+∞）（包含k+12不扣分）（3）当k=2时，g（x）=-x2+3+3lnx，令h（x）=g（x）-（x+m）=-x2-x+3lnx+3-m，（11分）h′(x)=-2x-1+3x，令h′（x）=0，-2x2-x+3x=0，得x=1，x=-32（舍去）．由函数y=h（x）定义域为（0，+∞），则当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时h'（x）＜0，∴当x=1时，函数h（x）取得最大值1-m．由1-m＜0得m＞1故m的取值范围是（1，+∞）．

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解析

f′(1)=0f(1)=2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|